Order among power means of positive operators

As a continuation of our paper [Sci. Math. Japon., {; ; bf 57}; ; (2003), 139--148] we determined real constants $alpha_1$, $alpha_2$, $beta_1$ and $beta_2$ such that $$alpha_2 M_{; ; k}; ; ^{; ; [s]}; ; ({; ; mathbf{; ; A}; ; }; ; , {; ; mathbf{; ; Phi}; ; }; ; , {; ; mathbf{; ; omega}; ; }; ; ) leq M_{; ; k}; ; ^{; ; [r]}; ; ({; ; mathbf{; ; A}; ; }; ; , {; ; mathbf{; ; Phi}; ; }; ; , {; ; mathbf{; ; omega}; ; }; ; ) leq alpha_1 M_{; ; k}; ; ^{; ; [s]}; ; ({; ; mathbf{; ; A}; ; }; ; , {; ; mathbf{; ; Phi}; ; }; ; , {; ; mathbf{; ; omega}; ; }; ; )$$ and $$ beta_2 I leq M_{; ; k}; ; ^{; ; [s]}; ; ({; ; mathbf{; ; A}; ; }; ; , {; ; mathbf{; ; Phi}; ; }; ; , {; ; mathbf{; ; omega}; ; }; ; ) - M_{; ; k}; ; ^{; ; [r]}; ; ({; ; mathbf{; ; A}; ; }; ; , {; ; mathbf{; ; Phi}; ; }; ; , mathbfomega}; ; }; ; ) leq beta_1 I$$ hold if $r leq s$, $r, s neq 0$. As applications, these inequalities for some special maps were given.